Cómo calcular la probabilidad binomial

La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad elementales para variables aleatorias discretas utilizadas en la teoría de probabilidad y las estadísticas. Se le da el nombre porque tiene el coeficiente binomial que está involucrado en cada cálculo de probabilidad. Pesa el número de combinaciones posibles para cada configuración..

Considere un experimento estadístico con cada evento que tenga dos posibilidades (éxito o fracaso) y pag probabilidad de éxito Además, cada evento es independiente el uno del otro. Un solo evento de tal naturaleza se conoce como un juicio de Bernoulli. Las distribuciones binomiales se aplican a la secuencia sucesiva de los ensayos de Bernoulli. Ahora, echemos un vistazo al método para encontrar la probabilidad binomial.

Cómo encontrar la probabilidad binomial

 Si X es el numero de éxitos de norte (cantidad finita) pruebas independientes de Bernoulli, con la probabilidad de éxito pag, entonces la probabilidad de X Los éxitos en el experimento están dados por,

^nortedo_X se llama el coeficiente binomial.

X Se dice que se distribuye binomialmente con parámetros. pag y norte, a menudo denotada por la notación Bin (notario público).

La media y la varianza de la distribución binomial se dan en términos de los parámetros norte y pag. 

La forma de la curva de distribución binomial también depende de los parámetros. norte y pag. Cuando norte Es pequeña, la distribución es aproximadamente simétrica para los valores. pagRango de .5 y muy sesgado cuando pag está en 0 o 1 rango. Cuando norte es grande, la distribución se vuelve más suave y simétrica con un sesgo notable cuando pag Se encuentra en el rango 0 o 1 extremo. En el siguiente diagrama, el eje x representa el número de intentos y el eje y da la probabilidad. 

  Cómo calcular la probabilidad binomial - Ejemplos

1. Si una moneda sesgada se lanza 5 veces sucesivamente y la probabilidad de éxito es de 0,3, encuentre las probabilidades en los siguientes casos.

una) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Media de la distribución.

e) Varianza de la distribución.

A partir de los detalles del experimento, podemos deducir que las distribuciones de probabilidades son de naturaleza binomial con 5 pruebas sucesivas e independientes con probabilidad de éxito 0.3.En consecuencia, n = 5 yp = 0.3. 

una) P (X = 5) = probabilidad de obtener éxitos (cabezas) para los cinco intentos

     P (X = 5) = ⁵do₅ (0.3)⁵ (1 - 0.3)^{5 - 5} = 1 × (0.3)⁵ × (1) = 0.00243

segundo) P (X) ≤ 4 = probabilidad de obtener cuatro o menos éxitos durante el experimento 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0.00243 = 0.99757

do)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Para calcular la probabilidad binomial de obtener solo cuatro éxitos (P (X) = 4) tenemos,

   P (X = 4) = ⁵do₄ (0.3)⁴ (1 - 0.3)^5-4 = 5 × 0.0081 × (0.7) = 0.00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

re)  Media = np = 5 (0.3) = 1.5

mi) Varianza = np (1 - p) = 5 (0.3) (1-0.3) = 1.05