Diferencia entre Riemann Integral y Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

La integración es un tema principal en el cálculo. En un sentido más amplio, la integración puede verse como el proceso inverso de diferenciación. Al modelar problemas del mundo real, es fácil escribir expresiones que involucran derivadas. En tal situación, se requiere la operación de integración para encontrar la función, que dio el derivado particular.

Desde otro ángulo, la integración es un proceso, que resume el producto de una función ƒ (x) y δx, donde δx tiende a ser un cierto límite. Por eso, usamos el símbolo de integración como. El símbolo ∫ es, de hecho, lo que obtenemos al estirar la letra s para referirnos a la suma.

Riemann Integral

Considere una función y = ƒ (x). La integral de y entre. una y segundo, dónde una y segundo pertenecer a un conjunto x, se escribe como _segundo∫^unaƒ (x) dx = [F(X)]_{una→segundo} = F(segundo) - F(una). Esto se llama una integral definida de la función de valor único y continua y = ƒ (x) entre a y b. Esto da el área bajo la curva entre una y segundo. Esto también se llama integral de Riemann. La integral de Riemann fue creada por Bernhard Riemann. La integral de Riemann de una función continua se basa en la medida de Jordan, por lo tanto, también se define como el límite de las sumas de Riemann de la función. Para una función de valor real definida en un intervalo cerrado, la integral de Riemann de la función con respecto a una partición x₁, X₂,… , X_norte definido en el intervalo [a, b] yt₁, t₂,…, T_norte, donde x_yo ≤ t_yo ≤ x_{i + 1} para cada i ε 1, 2, ..., n, la suma de Riemann se define como_{i = o a n-1} ƒ (t_yo)(X_{i + 1} - X_yo).

Lebesgue Integral

Lebesgue es otro tipo de integral, que cubre una amplia variedad de casos que la integral de Riemann. La integral de Lebesgue fue introducida por Henri Lebesgue en 1902. La integración de Legesgue puede considerarse como una generalización de la integración de Riemann..

¿Por qué necesitamos estudiar otra integral??

Consideremos la función característica ƒ_{A (x) = 0 si, x no ε A}^{1 si, x ε A} en un conjunto A. Entonces, la combinación lineal finita de funciones características, que se define como F(x) = Σ a_yoƒmi_yo(x) se llama la función simple si mi_yo es medible para cada i. La integral de Lebesgue de F(x) sobre mi se denota por _mi∫ ƒ (x) dx. La función F(x) no es integrable de Riemann. Por lo tanto, la integral de Lebesgue se reformula como la integral de Riemann, que tiene algunas restricciones en las funciones que deben integrarse.