Diferencia entre integración y suma

Integración vs Suma
 

En las matemáticas de la escuela superior, la integración y la suma se encuentran a menudo en operaciones matemáticas. Aparentemente se usan como herramientas diferentes y en diferentes situaciones, pero comparten una relación muy cercana.

Más sobre la suma

La suma es la operación de agregar una secuencia de números y la operación a menudo se denota con la letra griega de la sigma mayúscula Σ. Se utiliza para abreviar la suma e igual a la suma / total de la secuencia. A menudo se utilizan para representar la serie, que esencialmente son secuencias infinitas resumidas. También se pueden usar para indicar la suma de vectores, matrices o polinomios.

La suma se hace generalmente para un rango de valores que se pueden representar mediante un término general, como una serie que tiene un término común. El punto de inicio y el punto final de la suma se conocen como el límite inferior y el límite superior de la suma, respectivamente.

Por ejemplo, la suma de la secuencia a₁, una₂, una₃, una₄, … , una_norte es un₁ + una₂ + una₃ +... + a_norte que puede representarse fácilmente usando la notación de suma como^norte_{i = 1} una_yo; i se llama el índice de suma.

Muchas variaciones se utilizan para la suma basada en la aplicación. En algunos casos, el límite superior y el límite inferior pueden darse como un intervalo o un rango, como ∑_1≤i≤100 una_yo y ∑_{i∈ [1,100]} una_yo. O se puede dar como un conjunto de números como_i∈P una_yo , donde P es un conjunto definido.

En algunos casos, se pueden usar dos o más signos sigma, pero se pueden generalizar de la siguiente manera; ∑_j ∑_k una_jk = ∑_{j, k} una_jk.

Además, la suma sigue muchas reglas algebraicas. Dado que la operación integrada es la adición, muchas de las reglas comunes del álgebra se pueden aplicar a las sumas y a los términos individuales representados por la suma..

Más sobre la integración

La integración se define como el proceso inverso de diferenciación. Pero en su vista geométrica también se puede considerar como el área encerrada por la curva de la función y el eje. Por lo tanto, el cálculo del área da el valor de una integral definida como se muestra en el diagrama.

Fuente de la imagen: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

El valor de la integral definida es en realidad la suma de las pequeñas tiras dentro de la curva y el eje. El área de cada tira es la altura x ancho en el punto del eje considerado. El ancho es un valor que podemos elegir, digamos ∆x. Y la altura es aproximadamente el valor de la función en el punto considerado, digamos F(X_yo). A partir del diagrama, es evidente que cuanto más pequeñas son las tiras, más caben las tiras dentro del área delimitada, por lo tanto, una mejor aproximación del valor.

Entonces, en general la integral definida yo, entre los puntos a y b (es decir, en el intervalo [a, b] donde unyo ≅ F(X₁) ∆x + F(X₂) ∆x + ⋯ + F(X_norte) ∆x, donde n es el número de tiras (n = (b-a) / ∆x). Esta suma del área se puede representar fácilmente usando la notación de suma como yo ≅ ∑^norte_{i = 1} F(X_yo) ∆x. Como la aproximación es mejor cuando ∆x es más pequeño, podemos calcular el valor cuando ∆x → 0. Por lo tanto, es razonable decir yo = lim_{∆x → 0} ∑^norte_{i = 1} F(X_yo) ∆x.

Como una generalización del concepto anterior, podemos elegir el ∆x en función del intervalo considerado indexado por i (eligiendo el ancho del área en función de la posición). Entonces conseguimos

yo= lim_{∆x → 0} ∑^norte_{i = 1} F(X_yo) ∆x_yo = _una∫^segundo F(x) dx

Esto se conoce como la Reimann Integral de la función. F(x) en el intervalo [a, b]. En este caso, a y b se conocen como el límite superior y el límite inferior de la integral. Reimann integral es una forma básica de todos los métodos de integración..

En esencia, la integración es la suma del área cuando el ancho del rectángulo es infinitesimal.

¿Cuál es la diferencia entre Integración y Suma??

• La suma es la suma de una secuencia de números. Por lo general, la suma se da en esta forma^norte_{i = 1} una_yo cuando los términos en la secuencia tienen un patrón y se pueden expresar usando un término general.

• La integración es básicamente el área delimitada por la curva de la función, el eje y los límites superior e inferior. Esta área se puede dar como la suma de áreas mucho más pequeñas incluidas en el área delimitada.

• La suma implica los valores discretos con los límites superior e inferior, mientras que la integración implica valores continuos.

• La integración se puede interpretar como una forma especial de resumen..

• En los métodos de cálculo numérico, la integración siempre se realiza como una suma.