Diferencia entre derivado y diferencial

Derivado vs Diferencial
 

En el cálculo diferencial, la derivada y el diferencial de una función están estrechamente relacionados pero tienen significados muy diferentes y se utilizan para representar dos objetos matemáticos importantes relacionados con funciones diferenciables..

Que es derivado?

La derivada de una función mide la velocidad a la que cambia el valor de la función a medida que cambia su entrada. En funciones multivariables, el cambio en el valor de la función depende de la dirección del cambio de los valores de las variables independientes. Por lo tanto, en tales casos, se elige una dirección específica y la función se diferencia en esa dirección particular. Ese derivado se llama el derivado direccional. Los derivados parciales son un tipo especial de derivados direccionales..

Derivada de una función vectorial. F se puede definir como el límite Donde quiera que exista finamente. Como se mencionó anteriormente, esto nos da la tasa de aumento de la función. F a lo largo de la dirección del vector tu. En el caso de una función de un solo valor, esto se reduce a la definición bien conocida de la derivada,  

Por ejemplo, Es diferenciable en todas partes, y el derivado es igual al límite., , que es igual a . Las derivadas de funciones tales como   existen en todas partes. Son respectivamente iguales a las funciones. .                                                                                

Esto se conoce como la primera derivada. Usualmente la primera derivada de la función. F se denota por F ⁽¹⁾. Ahora usando esta notación, es posible definir derivados de orden superior. es el derivado direccional de segundo orden, y denota el norte^th derivado por F ^(norte) para cada norte, ,  define el norte^th derivado.

Que es diferencial?

El diferencial de una función representa el cambio en la función con respecto a los cambios en la variable o variables independientes. En la notación habitual, para una función determinada. F de una sola variable X, El diferencial total de orden 1. df es dada por, . Esto significa que para un cambio infinitesimal en X(es decir, dX), habrá una  F ⁽¹⁾(X)reX cambiar en F.

Usando límites uno puede terminar con esta definición de la siguiente manera. Supongamos queX es el cambio en X en un punto arbitrario X y ∆F Es el cambio correspondiente en la función. F. Se puede demostrar que ∆f = f ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, donde ϵ es el error. Ahora, el límite ∆x →0^∆F/_∆X= F ⁽¹⁾(X) (usando la definición de derivada anteriormente indicada) y por lo tanto, ∆x →0^ϵ/_∆X= 0. Por lo tanto, es posible concluir que,x →0ϵ = 0. Ahora, denotando ∆x →0 ∆F como dF y ∆x →0 ∆X como dX La definición del diferencial se obtiene rigurosamente.. 

Por ejemplo, el diferencial de la función. es .

En el caso de funciones de dos o más variables, el diferencial total de una función se define como la suma de los diferenciales en las direcciones de cada una de las variables independientes. Matemáticamente, se puede afirmar como .