Diferencia entre series aritméticas y geométricas

Aritmética vs series geométricas
 

La definición matemática de una serie está estrechamente relacionada con las secuencias. Una secuencia es un conjunto ordenado de números y puede ser un conjunto finito o infinito. Una secuencia de números con la diferencia entre dos elementos que son una constante se conoce como una progresión aritmética. Una secuencia con un cociente constante de dos números sucesivos se conoce como progresión geométrica. Estas progresiones pueden ser finitas o infinitas, y si son finitas, el número de términos es contable, de lo contrario, es incontable..

En general, la suma de los elementos en una progresión se puede definir como una serie. La suma de una progresión aritmética se conoce como una serie aritmética. Asimismo, la suma de una progresión geométrica se conoce como serie geométrica..

Más sobre la serie aritmética

En una serie aritmética, los términos sucesivos tienen una diferencia constante..

S_norte = a₁ + una₂ + una₃ + una₄ +⋯ + a_norte = ∑^norte_{i = 1} una_yo ; donde un₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, y así sucesivamente.

Esta diferencia d se conoce como la diferencia común, y la n^th término es dado por un_norte = a₁+ (n-1) d; donde un₁ es el primer término.

El comportamiento de la serie cambia en función de la diferencia común d. Si la diferencia común es positiva, la progresión tiende a ser infinito positivo, y si la diferencia común es negativa, tiende hacia el infinito negativo..

La suma de la serie se puede obtener con la siguiente fórmula simple, desarrollada por primera vez por el astrónomo y matemático indio Aryabhata.

S_norte = n / 2 (a₁+ una_norte ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

La suma s_norte puede ser finito o infinito, en función del número de términos.

Más sobre series geométricas

Una serie geométrica es una serie con el cociente de los números sucesivos constantes. Es una serie importante que se encuentra en el estudio de la serie, debido a las propiedades que posee..

S_norte = ar + ar² + Arkansas³ +⋯ + ar^norte = ∑^norte_{i = 1} Arkansas^yo

En función de la relación r, el comportamiento de la serie se puede clasificar de la siguiente manera. r = | r | ≥1 serie diverges; La serie r≤1 converge. Además, si r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

La suma de las series geométricas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula. S_norte = a (1-r^norte) / (1-r); donde a es el término inicial y r es la razón. Si la relación r≤1, la serie converge. Para una serie infinita, el valor de convergencia viene dado por S_norte= a / (1-r).

Las series geométricas tienen numerosas aplicaciones en los campos de las ciencias físicas, la ingeniería y la economía.

¿Cuál es la diferencia entre series aritméticas y geométricas??

• Una serie aritmética es una serie con una diferencia constante entre dos términos adyacentes.

• Una serie geométrica es una serie con un cociente constante entre dos términos sucesivos.

• Todas las series aritméticas infinitas son siempre divergentes, pero según la relación, las series geométricas pueden ser convergentes o divergentes.

• La serie geométrica puede tener oscilación en los valores; es decir, los números cambian sus signos alternativamente, pero la serie aritmética no puede tener oscilaciones.