Diferencia entre Power Series y Taylor Series

Serie Power vs Serie Taylor

En matemáticas, una secuencia real es una lista ordenada de números reales. Formalmente, es una función del conjunto de números naturales en el conjunto de números reales. Si una_nortees entonces^th término de una secuencia, denotamos la secuencia por o por una₁, una₂,… ,una_norte,... Por ejemplo, considere la secuencia 1, ½, ⅓, ... , ¹/_norte,... Se puede denotar como 1 / n.

Es posible definir una serie utilizando secuencias. Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por lo tanto, para cada secuencia, hay una secuencia asociada y viceversa. Si a_norte es la secuencia en consideración, entonces, la serie formada por esa secuencia puede representarse como:                                           

 Así, en el ejemplo anterior, la serie asociada es 1.+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_norte +... . 

Como lo sugieren los nombres, la serie de potencias es un tipo especial de serie y se usa ampliamente en el análisis numérico y el modelado matemático relacionado. La serie Taylor es una serie especial de poder que proporciona una forma alternativa y fácil de manipular para representar funciones conocidas.

¿Qué es la serie Power??

Una serie de poder es una serie de la forma.

    

que es convergente (posiblemente) para algún intervalo centrado en do. Los coeficientes una_norte Pueden ser números reales o complejos, y es independiente de X; es decir. la variable ficticia.

Por ejemplo, estableciendo una_norte= 1 para cada norte, y do = 0, la serie de potencias 1 + x + x²+... + x^norte+… es obtenido. Es fácil observar que cuando x ε (-1,1), esta serie de potencias converge a 1 / (1-x).          

Una serie de potencias converge cuando X = do. Los otros valores de X para los cuales la serie de potencias converge siempre tomará la forma de un intervalo abierto centrado en do. Es decir, habrá un valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada X satisfactorio | x-c | ≤R, La serie de potencias es convergente y para cada X  satisfactorio | x-c |>R, La serie de potencias es divergente. Este valor R Se denomina radio de convergencia de la serie de potencias (R puede tomar cualquier valor real o infinito positivo).

Las series de poder se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las siguientes reglas. Consideremos las dos series de potencias:       

   

                               .

Entonces,                 

es decir. Los términos semejantes se suman o restan juntos. Además, es posible multiplicar y dividir las dos series de potencias utilizando la identidad,

Que es la serie de taylor?

La serie de Taylor está definida para una función. F(X) que es infinitamente diferenciable en un intervalo. Asumir F(X) es diferenciable en un intervalo centrado en do. Entonces la serie de potencias que viene dada por

                                                                                                                                

Se llama la expansión de la serie de Taylor de la función. F(X) acerca de do. (Aquí F^(norte)(do) Denota la n^th derivado en X = do). En el análisis numérico, un número finito de términos en esta expansión infinita se usa para calcular valores en los puntos donde la serie es convergente a la función original.

Una función F(X) se dice que es analítica en el intervalo (a, b), si para cada x ε (a, b), la serie de Taylor de F(X) converge a la función F(X). Por ejemplo, 1 / (1-x) es analítico en (-1,1), ya que su expansión de Taylor 1 + x + x²+... + x^norte+... converge a la función en ese intervalo, y mi^X  Es analítica en todas partes, ya que la serie de Taylor de mi^Xconverge a mi^X para cada numero real X.

¿Cuál es la diferencia entre la serie Power y la serie Taylor??

1. La serie de Taylor es una clase especial de serie de potencia definida solo para funciones que son infinitamente diferenciables en algún intervalo abierto.

2. Las series de Taylor toman la forma especial.

        

Mientras que, una serie de potencias puede ser cualquier serie de la forma.