Diferencia entre ortogonal y ortonormal

Ortogonal vs Ortonormal

En matemáticas, las dos palabras ortogonales y ortonormales se usan frecuentemente junto con un conjunto de vectores. Aquí, el término 'vector' se usa en el sentido de que es un elemento de un espacio vectorial, una estructura algebraica utilizada en el álgebra lineal. Para nuestra discusión, consideraremos un espacio de producto interno - un espacio vectorial V junto con un producto interno [] definido en V.

Como ejemplo, para un producto interno, el espacio es el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales junto con el producto de puntos habitual.

Lo que es ortogonal?

Un subconjunto no vacío S de un espacio de producto interno V se dice que es ortogonal, si y solo si para cada distinto tu, v en S, [u, v] = 0; es decir, el producto interno de tu y v es igual al cero escalar en el espacio interno del producto.

Por ejemplo, en el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales, esto es equivalente a decir que, para cada par distinto de vectores de posición pag y q En s, pag y q son perpendiculares entre si (Recuerde que el producto interno en este espacio vectorial es el producto de puntos. Además, el producto de puntos de dos vectores es igual a 0 si y solo si los dos vectores son perpendiculares entre sí).

Considerar el conjunto S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), que es un subconjunto de los vectores de posición tridimensionales. Observe que (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Por lo tanto, el conjunto S es ortogonal En particular, se dice que dos vectores son ortogonales si su producto interno es 0. Por lo tanto, cada par de vectores en Ses ortogonal.

Lo que es ortonormal?

Un subconjunto no vacío S de un espacio de producto interno V se dice que es ortonormal si y solo si S Es ortogonal y para cada vector. tu en S, [u, u] = 1. Por lo tanto, se puede ver que cada conjunto ortonormal es ortogonal pero no al revés.

Por ejemplo, en el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales, esto es equivalente a decir que, para cada par distinto de vectores de posición pag y q en S, pag y q son perpendiculares entre sí, y para cada pag en S, | p | = 1. Esto es porque la condición [p, p] = 1 reduce a p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, que es equivalente a | p | = 1. Por lo tanto, dado un conjunto ortogonal, siempre podemos formar un conjunto ortonormal correspondiente dividiendo cada vector por su magnitud.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) es un subconjunto ortonormal del conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales. Es fácil ver que se obtuvo al dividir cada uno de los vectores en el conjunto S, por sus magnitudes.

¿Cuál es la diferencia entre ortogonal y ortonormal??

• Un subconjunto no vacío S de un espacio de producto interno V se dice que es ortogonal, si y solo si para cada uno distinto tu, v en S, [u, v] = 0. Sin embargo, es ortonormal, si y solo si una condición adicional, para cada vector tu en S, [u, u] = 1 esta satisfecho.
• Cualquier conjunto ortonormal es ortogonal pero no al revés.
• Cualquier conjunto ortogonal corresponde a un conjunto ortonormal único, pero un conjunto ortonormal puede corresponder a muchos conjuntos ortogonales.