Diferencia entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Ecuaciones diferenciales lineales vs no lineales
 

Una ecuación que contiene al menos un coeficiente diferencial o derivado de una variable desconocida se conoce como ecuación diferencial. Una ecuación diferencial puede ser lineal o no lineal. El alcance de este artículo es explicar qué es la ecuación diferencial lineal, qué es la ecuación diferencial no lineal y cuál es la diferencia entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales..

Desde el desarrollo del cálculo en el siglo XVIII por parte de matemáticos como Newton y Leibnitz, la ecuación diferencial ha jugado un papel importante en la historia de las matemáticas. Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en matemáticas debido a su rango de aplicaciones. Las ecuaciones diferenciales están en el corazón de cada modelo que desarrollamos para explicar cualquier escenario o evento en el mundo, ya sea en física, ingeniería, química, estadística, análisis financiero o biología (la lista es infinita). De hecho, hasta que el cálculo se convirtió en una teoría establecida, las herramientas matemáticas adecuadas no estaban disponibles para analizar los problemas interesantes de la naturaleza..

Las ecuaciones resultantes de una aplicación específica de cálculo pueden ser muy complejas y algunas veces no solucionables. Sin embargo, hay algunos que podemos resolver, pero pueden parecer iguales y confusos. Por lo tanto, para una identificación más fácil, las ecuaciones diferenciales se clasifican por su comportamiento matemático. Lineal y no lineal es una de esas categorizaciones. Es importante identificar la diferencia entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales..

¿Qué es una ecuación diferencial lineal??

Suponer que f: X → Y y f (x) = y, a Ecuación diferencial sin términos no lineales de la función desconocida. y y sus derivados se conoce como una ecuación diferencial lineal..

Impone la condición de que y no puede tener términos de índice más altos, como y², y³,… Y múltiplos de derivados tales como 

Tampoco puede contener términos no lineales como el pecado. y, mi^{y^ -2}, o ln y. Toma la forma, 

dónde y y sol son funciones de X. La ecuación es una ecuación diferencial de orden. norte, ¿Cuál es el índice del derivado de orden más alto?.

En una ecuación diferencial lineal, el operador diferencial es un operador lineal y las soluciones forman un espacio vectorial. Como resultado de la naturaleza lineal del conjunto de soluciones, una combinación lineal de las soluciones también es una solución a la ecuación diferencial. Es decir, si y₁ y y₂ Son soluciones de la ecuación diferencial, entonces do₁ y₁+ do₂ y₂ también es una solución.

La linealidad de la ecuación es solo un parámetro de la clasificación, y puede además categorizarse en ecuaciones diferenciales homogéneas o no homogéneas y ordinarias o parciales. Si la función es sol= 0 entonces la ecuación es una ecuación diferencial homogénea lineal. Si F Es una función de dos o más variables independientes. (f: X, T → Y) y f (x, t) = y , entonces la ecuación es una ecuación diferencial parcial lineal.

El método de solución para la ecuación diferencial depende del tipo y los coeficientes de la ecuación diferencial. El caso más fácil surge cuando los coeficientes son constantes. Un ejemplo clásico de este caso es la segunda ley de movimiento de Newton y sus diversas aplicaciones. La segunda ley de Newton produce una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

¿Qué es una ecuación diferencial no lineal??

Las ecuaciones que contienen términos no lineales se conocen como ecuaciones diferenciales no lineales.

 

Todas las anteriores son ecuaciones diferenciales no lineales. Las ecuaciones diferenciales no lineales son difíciles de resolver, por lo tanto, se requiere un estudio minucioso para obtener una solución correcta. En el caso de las ecuaciones diferenciales parciales, la mayoría de las ecuaciones no tienen una solución general. Por lo tanto, cada ecuación tiene que ser tratada independientemente..

La ecuación de Navier-Stokes y la de Euler en dinámica de fluidos, las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein son bien conocidas ecuaciones diferenciales parciales no lineales. A veces, la aplicación de la ecuación de Lagrange a un sistema variable puede resultar en un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales??

• Una ecuación diferencial, que tiene solo los términos lineales de la variable desconocida o dependiente y sus derivadas, se conoce como ecuación diferencial lineal. No tiene ningún término con la variable dependiente de índice superior a 1 y no contiene ningún múltiplo de sus derivados. No puede tener funciones no lineales como funciones trigonométricas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas con respecto a la variable dependiente. Cualquier ecuación diferencial que contenga los términos mencionados anteriormente es una ecuación diferencial no lineal.

• Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales crean un espacio vectorial y el operador diferencial también es un operador lineal en el espacio vectorial..

• Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales son relativamente más fáciles y existen soluciones generales. Para las ecuaciones no lineales, en la mayoría de los casos, la solución general no existe y la solución puede ser específica del problema. Esto hace que la solución sea mucho más difícil que las ecuaciones lineales..