Diferencia entre integrales definidas e indefinidas
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El cálculo es una rama importante de las matemáticas, y la diferenciación desempeña un papel fundamental en el cálculo. El proceso inverso de la diferenciación se conoce como integración, y el inverso se conoce como la integral, o, simplemente, la inversa de la diferenciación da una integral. Sobre la base de los resultados que producen, las integrales se dividen en dos clases, a saber, integrales definidas e indefinidas..
Integral definida
La integral definida de f (x) es un NÚMERO y representa el área bajo la curva f (x) desde x = a a x = b.
Una integral definida tiene límites superiores e inferiores en las integrales, y se denomina definida porque, al final del problema, tenemos un número: es una respuesta definida.
Integral indefinida
La integral indefinida de f (x) es una FUNCIÓN y responde a la pregunta, “¿Qué función cuando se diferencia se da? f (x)?”
Con una integral indefinida no hay límites superiores e inferiores en la integral aquí, y lo que obtendremos es una respuesta que todavía tiene Xestá en ella y también tendrá una constante (generalmente denotada por do) en eso.
La integral indefinida suele dar una solución general a la ecuación diferencial..
La integral indefinida es más una forma general de integración, y se puede interpretar como el anti-derivado de la función considerada.
Supongamos la diferenciación de la función. F conduce a otra función F, y la integración de f da la integral. Simbólicamente, esto se escribe como
F (x) = ∫ƒ (x) dx
o
F = ∫ƒ dx
donde ambos F y ƒ son funciones de X, y F es diferenciable En la forma anterior, se llama integral de Reimann y la función resultante acompaña a una constante arbitraria.
Una integral indefinida a menudo produce una familia de funciones; Por lo tanto, la integral es indefinida..
Las integrales y el proceso de integración son el núcleo de la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, a diferencia de los pasos en la diferenciación, los pasos en la integración no siempre siguen una rutina clara y estándar. En ocasiones, vemos que la solución no puede expresarse explícitamente en términos de función elemental. En ese caso, la solución analítica se da a menudo en forma de una integral indefinida..
Teorema fundamental del calculo
La integral y la integral indefinida están vinculadas por el Teorema Fundamental del Cálculo de la siguiente manera: Para calcular una integral definida, encuentra el integral indefinida (también conocido como el anti-derivado) de la función y evaluar en los puntos finales x = a y x = b.
La diferencia entre integrales definidas e indefinidas será evidente una vez que evaluemos las integrales para la misma función.
Considera la siguiente integral:
DE ACUERDO. Hagamos ambos y veamos la diferencia..
Para la integración, necesitamos agregar uno al índice que nos lleva a la siguiente expresión:
En este punto del tiempo do es simplemente una constante para nosotros. Se necesita información adicional en el problema para determinar el valor preciso de do.
Evaluemos la misma integral en su forma definida, es decir, con los límites superior e inferior incluidos.
Gráficamente hablando, ahora estamos calculando el área bajo la curva f (x) = y3 Entre y = 2 y y = 3.
El primer paso en esta evaluación es el mismo que la evaluación integral indefinida. La única diferencia es que en esta ocasión no agregamos la constante do.
La expresión en este caso se ve como sigue:
Esto es a su vez conduce a:
Esencialmente, sustituimos 3 y luego 2 en la expresión y obtuvimos la diferencia entre ellos..
Este es el valor definido en oposición al uso de la constante do más temprano.
Exploremos el factor constante (con respecto a la integral indefinida) con más detalle.
Si el diferencial de y3 es 3y2, entonces
∫3y2dy = y3
sin embargo, 3y2 Podría ser el diferencial de muchas expresiones, algunas de las cuales incluyen y3-5, y3+7, etc ... Esto implica que la inversión no es única, ya que la constante no se contabiliza durante la operación.
Asi que en general, 3y2 es el diferencial de y3+do dónde do es cualquier constante Por cierto, C es conocido como el 'constante de integración'.
Escribimos esto como:
∫ 3y2.dx = y3 + do
Las técnicas de integración para una integral indefinida, como la búsqueda de tablas o la integración Risch, pueden agregar nuevas discontinuidades durante el proceso de integración. Estas nuevas discontinuidades aparecen porque los anti-derivados pueden requerir la introducción de logaritmos complejos.
Los logaritmos complejos tienen una discontinuidad de salto cuando el argumento cruza el eje real negativo, y los algoritmos de integración a veces no pueden encontrar una representación donde se cancelan estos saltos.
Si la integral definida se evalúa calculando primero una integral indefinida y luego sustituyendo los límites de integración en el resultado, debemos tener en cuenta que la integración indefinida podría producir discontinuidades. Si lo hace, además, debemos investigar las discontinuidades en el intervalo de integración..
