Diferencia entre números racionales e irracionales

El término "números" trae a nuestra mente lo que generalmente se clasifica como valores enteros positivos mayores que cero. Otras clases de números incluyen números enteros y fracciones, complejo y numeros reales y también valores enteros negativos.

Extendiendo las clasificaciones de números más allá, nos encontramos con racional y irracional números. Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción. En otras palabras, el número racional se puede escribir como una proporción de dos números.

Considere, por ejemplo, el número 6. Se puede escribir como la relación de dos números a saber. 6 y 1, llevando a la relación 6/1. Igualmente, 2/3, que se escribe como una fracción, es un número racional.

Por lo tanto, podemos definir un número racional, como un número escrito en forma de una fracción, en el que tanto el numerador (el número en la parte superior) como el denominador (el número en la parte inferior) son números enteros. Por definición, por lo tanto, cada número entero es también un número racional.

Una proporción de dos grandes números tales como (129,367,871)/(547,724,863) También constituiría un ejemplo de un número racional por la sencilla razón de que tanto el numerador como el denominador son números enteros.

A la inversa, cualquier número que no pueda expresarse en forma de fracción o proporción se denomina irracional. El ejemplo más comúnmente citado de un número irracional es √2 (1.414213…). Otro ejemplo popular de un número irracional es la constante numérica π (3.141592… ).

Un número irracional se puede escribir como un decimal, pero no como una fracción. Los números irracionales no se usan a menudo en la vida diaria, aunque existen en la recta numérica. Hay un número infinito de números irracionales entre 0 y 1 en la recta numérica. Un número irracional tiene infinitos dígitos no repetitivos a la derecha del punto decimal.

Tenga en cuenta que el valor citado a menudo de 22/7 por la constante π es, de hecho, sólo uno de los valores de π. Por definición, la circunferencia de un círculo dividido por el doble de su radio es el valor de π. Esto conduce a múltiples valores de π, incluyendo pero no limitado a, 333/106, 355/113 y así sucesivamente1.

Sólo las raíces cuadradas de los números cuadrados; es decir, las raíces cuadradas de la cuadrados perfectos son racionales.

√1= 1 (Racional)

√2 (Irracional)

√3 (Irracional)

√4 = 2 (Racional)

√5, √6, √7, √8 (Irracional)

√9 = 3 (Racional) y así sucesivamente.

Además, observamos que, sólo el nortelas raíces de norteLos poderes son racionales. Por lo tanto, la Sexto Raíz de 64 es racional, porque 64 es un Sexto poder, a saber, el Sexto el poder de 2. Pero el Sexto Raíz de 63 es irracional. 63 no es un perfecto 6th poder.

Inevitablemente, la representación decimal de los irracionales aparece en la imagen y plantea algunos resultados interesantes..

Cuando expresamos un racional número como decimal, entonces el decimal será exacto (como en 1/5= 0,20) o será inexacto (como en, 1/3 ≈ 0.3333). En cualquier caso, habrá un patrón de dígitos predecible. Tenga en cuenta que cuando un irracional el número se expresa como un decimal, entonces claramente será inexacto, porque de lo contrario, el número sería racional.

Además, no habrá un patrón predecible de dígitos. Por ejemplo,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Ahora, con números racionales, ocasionalmente nos encontramos con 1/11 = 0.0909090.

El uso tanto del signo igual (=) y tres puntos (elipsis) implica que aunque no es posible expresar 1/11 exactamente como un decimal, todavía podemos aproximarlo con tantos dígitos decimales como sea permitido para acercarse a 1/11.

Así, la forma decimal de 1/11 Se considera inexacto. De igual modo, la forma decimal de  ¼ el cual es 0.25, es exacto.

Llegando a la forma decimal para números irracionales, siempre serán inexactos. Continuando con el ejemplo de √2, cuando escribimos √2 = 1.41421356237… (Note el uso de puntos suspensivos), inmediatamente implica que no hay decimal para √2 será exacto Además, no habrá un patrón predecible de dígitos. Usando conceptos de métodos numéricos, nuevamente, podemos aproximarnos racionalmente a tantos dígitos decimales como hasta el punto en el que estamos cerca de √2.

Cualquier nota sobre números racionales e irracionales no puede terminar sin la prueba obligatoria de por qué √2 es irracional. Al hacerlo, también dilucidamos, el ejemplo clásico de una prueba por contradicción.

Supongamos que √2 es racional. Esto nos lleva a representarlo como una relación de dos enteros, por ejemplo pag y q.

√2 = p / q

Excusado es decir que, pag y q no tenemos factores comunes, ya que si hubiera algún factor común, los habríamos cancelado desde el numerador y el denominador.

Al cuadrar ambos lados de la ecuación, terminamos con,

2 = p2 / q2

Esto puede ser escrito convenientemente como,

pag2 = 2q2

La última ecuación sugiere que pag2 incluso. Esto es posible solo si pag en sí es parejo. Esto a su vez implica que pag2 es divisible por 4. Por lo tanto, q2 y consecuentemente q debe ser parejo Asi que pag y q son ambos, lo que contradice nuestra suposición inicial de que no tienen factores comunes. Así, √2 no puede ser racional Q.E.D.